Victor Vidal Gonçalves

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção

, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

	Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120

	Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180

	Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:

            Solução:
            5 . x = 8 . 15        (aplicando a propriedade fundamental)
            5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

            Solução:
            5 . (x-3) = 4 . (2x+1)        (aplicando a propriedade fundamental)
            5x - 15 = 8x + 4
            5x - 8x = 4 + 15
            -3x = 19
            3x = -19            x =

Logo, o valor de x é

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

            5 . x = 8 . 35
            5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m³) de água salgada, são retirados 40 dm³ de sal. Para obtermos 2 m³ de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm³ = 0,04m³.

(aplicando a propriedade fundamental)

            1 . 2 = 0,04 . x
            0,04x = 2

x = 50 m³

Logo, são necessários 50 m³ de água salgada.

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

             (aplicando a propriedade fundamental)
            8 . x = 12 . 6
            8 . x = 72

x = 9
Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:

Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

            Exemplo:
            Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
            Solução
            Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

            (aplicando a propriedade fundamental)
            20 . x = 10 . 10
            20x = 100

            x = 5
            Logo, a terceira proporcional é 5.

       Média geométrica ou média proporcional
            Dada uma proporção contínua

, o número b é denominado média geométrica ou média proporcionalentre a e c. Exemplo:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
Solução:

            5 . 20 = b . b
            100 = b²
            b² = 100
            b =

b = 10
Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
Solução:

Assim:

            x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.
            Logo, x=36 e y=48.

        2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

            x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.
            Logo, x=30 e y=12.

        3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por