Mtematica fundamental e medio.

Área da Região Circular:

Praça no formato circular

A circunferência é uma figura que possui o formato circular e está presente em diversas situações relacionadas ao nosso dia a dia. Se observarmos atentamente à nossa volta, verificamos que o formato circular é muito importante para o funcionamento perfeito de alguns objetos. Por exemplo, as rodas de um carro possuem o formato circular, o que facilita a sua locomoção. Outra parte do carro com o formato de uma circunferência é o volante, que possui esse formato para um melhor controle de direcionamento do carro.
As rodas de uma bicicleta, a tampa de uma panela, algumas placas de trânsito, entre outros objetos, possuem formato circular.

No esporte também observamos a presença do formato circular. O centro do campo de futebol e de uma quadra de futsal é delimitado por uma circunferência. Algumas pessoas confundem circunferência com círculo, mas a diferença entre os dois é muito fácil de estabelecer. Veja:

O círculo é a parte interna da circunferência.

A circunferência é a linha que limita o círculo.

Todos os outros formatos geométricos planos possuem medidas da largura e do comprimento, que são utilizadas no cálculo da área dessas figuras. No caso da circunferência, o elemento responsável pela sua área é chamado de raio, que é determinado pela distância entre o centro da circunferência até a extremidade.

A área de uma região circular é calculada pela expressão , onde r é a medida do raio e π uma letra grega de valor fixo igual a 3,14.

Exemplo 1

Vamos calcular a área de uma região circular com raio medindo 10 metros.

A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 m²

Como estamos trabalhando com área, a unidade de medida deverá ser o metro quadrado.

Exemplo 2

Uma praça possui o formato circular com raio medindo 20 metros. Calcule quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher essa praça.

A = 3,14 * 20²
A = 3,14 * 400
A = 1 256 m²

Área de um losango:

Losango na bandeira

O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. É composto também por duas diagonais: diagonal maior (D) e diagonal menor (d). Essas duas diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma (exatamente no meio delas). Os ângulos opostos de um losango também são congruentes.

Compreendidas as características de um losango, vamos descobrir como sua área é calculada.
A área do losango depende das medidas das duas diagonais, dizemos então que a área é dada em função das diagonais do losango. A fórmula para o cálculo da área do losango é:

Onde,
D → é a medida da diagonal maior
d → é a medida da diagonal menor.

Exemplo 1. Se um losango possui diagonal maior medindo 10cm e diagonal menor medindo 7cm, qual será o valor de sua área?

Solução: De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que D = 10cm e d = 7cm. Como conhecemos os valores das diagonais, vamos aplicar a fórmula.

Portanto, o losango apresenta 35 cm² de área.
Exemplo 2. Num losango, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor. Sabendo que D = 50cm, qual será a medida da área desse losango?

Solução: Sabemos que a diagonal maior é o dobro da diagonal menor. Como D = 50cm, podemos afirmar que d = 25cm. Conhecidas as medidas das diagonais, basta utilizar a fórmula da área.

Portanto, o losango tem 625 cm² de área.
Exemplo 3. Um losango apresenta área igual a 60 m². Sabendo que a diagonal menor mede 6m, encontre a medida da diagonal maior.

Solução: Como sabemos a medida da área do losango e da diagonal menor, devemos utilizar a fórmula da área para encontrar a medida da diagonal maior.

Área do paralelogramo:

 

Paralelogramo

A geometria plana é umas das partes da matemática com maior utilização em situações cotidianas. Diariamente nos vemos numa ocasião em que é necessário calcular o comprimento de algo, a área de algum lugar, a distância entre dois pontos, etc. A construção civil é uma das áreas que faz muito uso das fórmulas e conceitos da geometria. Vamos fazer o estudo de como se determina a área de um paralelogramo.
Primeiro, vamos definir o que é um paralelogramo. Todo quadrilátero que possui os lados oposto paralelos é chamado de paralelogramo. Dessa forma, podemos dizer que o quadrado, o retângulo e o losango são exemplos de paralelogramos.

Para encontrarmos a área de um paralelogramo é necessário conhecer somente as medidas da base e de sua altura. Sabendo as medidas desses elementos, a área do paralelogramo será dada por:

Vamos resolver alguns exemplos para compreender melhor o uso da fórmula acima.
Exemplo 1. Calcule a área de um paralelogramo cuja base mede 15 cm e a altura 12 cm.

Solução: De acordo com o enunciado do problema, sabemos que b = 15 cm e h = 12 cm.

Assim, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo.

A = base x altura
A = 15 x 12
A = 180 cm².

Não se esqueça que as unidades de medida de área sempre estão elevadas ao quadrado: m², cm², km², etc.

Exemplo 2. Determine a área da figura abaixo:

Solução: A figura acima é um paralelogramo (veja os lados opostos paralelos) cuja base mede 25 cm e a altura, 20 cm. Observe que a altura forma um ângulo de 90^o (ângulo reto) com a base. Como sabemos as medidas da altura e da base, basta utilizar a fórmula da área. Assim, teremos:

A = base x altura
A = 25 x 20
A = 500 cm²

Portanto, o paralelogramo da figura apresenta uma área de 500 cm².

Área do Retângulo e do Quadrado:

 

Cálculo de áreas

Marcinha mora em uma casa que possui uma enorme área coberta. O pai de Marcinha resolveu colocar cerâmica na área. O pedreiro contratado para realizar a obra mediu a área e disse que ela tem a forma retangular com as seguintes dimensões: 9 metros de largura e 12 metros de comprimento, totalizando uma área de 108 metros quadrados (m²). Veja a ilustração da área:

Se o pai de Marcinha resolver comprar blocos de piso no formato quadrado, de 1 metro de largura e 1 metro de comprimento, ele precisará de pelo menos 108 blocos, pois cada um deles tem 1 metro quadrado (m²) de área e a superfície total da área coberta é de 108 metros quadrados (m²).

A área do quadrado e do retângulo é calculada multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura. Todas as medidas devem estar na mesma unidade de comprimento. Veja a superfície da área com os blocos de cerâmica enumerados com dimensões de 1 metro de comprimento e 1 metro de largura.
 

Foram utilizados 108 blocos de cerâmica para cobrir toda a superfície da área.

Importante: O metro quadrado (m²) equivale à superfície ocupada por 1 quadrado de 1 metro de lado.


Após cobrir toda a superfície da área, o pai de Marcinha pretende trocar todo o piso da sala de vídeo da casa. As dimensões da sala são 6 metros de comprimento e 4 metros de largura.

A partir dessas dimensões conclui-se que a sala possui 24 metros quadrados de área (6m x 4m).

Unidades de Área:

 

Unidades de medidas

Quando calculamos a área de uma figura plana, as dimensões comprimento e largura precisam apresentar a mesma unidade de comprimento. Lembrando que as unidades de comprimento são:

km: quilômetro
hm: hectômetro
dam: decâmetro
m: metro
dm: decímetro
cm: centímetro
mm: milímetro

Se as dimensões do comprimento e da largura estão na mesma unidade, a área terá as seguintes representações:

km² (quilômetro quadrado)
Superfície formada por um quadrado de 1 km de lado.

A superfície de um lago deve ser medida na unidade de km².

hm² (hectômetro quadrado)
Superfície formada por um quadrado de 1 hectômetro de lado.

dam² (decâmetro quadrado)
Superfície formada por um quadrado de 1 decâmetro de lado.

m² (metro quadrado)
Superfície quadrada com lados medindo 1 metro.


A unidade metro quadrado é a melhor nas situações que envolvem prédios, casas, apartamentos.

dm² (decímetro quadrado)
Superfície quadrada com lados medindo 1 decímetro.

cm² (centímetro quadrado)
Região quadrada com lados medindo 1 centímetro.


Nos objetos equivalentes a um caderno, utilizamos o centímetro quadrado e o decímetro quadrado.

mm² (milímetro quadrado)
Região quadrada com lados medindo 1 milímetro.

Área do Trapézio

Trapézio

O trapézio é um polígono, isto é, uma figura plana fechada formada por segmentos de retas que recebem o nome de lado. O encontro dos lados recebe o nome de vértices. Por ser uma figura fechada possui superfície que também é chamada de área. Vamos conhecer os tipos de trapézios existentes de acordo com a Geometria plana: Trapézio retângulo, Trapézio isósceles e Trapézio escaleno.

No trapézio dois lados opostos serão sempre paralelos, isto é, são lados que ao serem prolongados nunca possuirão ponto em comum. Observe:

Dizemos que os lados AB e DC são paralelos e constituem as duas bases do trapézio, considerando nesse caso que:

AB: menor base.
DC: maior base.


Para calcularmos a área de uma figura na forma de um trapézio devemos realizar as seguintes operações:

1º passo: somar as bases.
2º passo: multiplicar o resultado da soma das bases pela altura do trapézio.
3º passo: dividir o resultado da multiplicação por dois.

Podemos utilizar também a seguinte expressão Matemática:  .
Nessa expressão temos que:

A: área.
B: base maior.
B: base menor.
h: altura.

Vamos calcular a área dos seguintes trapézios:

O trapézio possui 66 unidades de área.


O trapézio tem área igual a 29 unidades de área.

Área do Triângulo:

O triângulo possui inúmeras aplicações cotidianas

Dentre os estudos da Geometria, o triângulo consiste na figura plana mais simples. Além de ser a mais simples, é a mais importante de todas, pois possui várias aplicações perante as situações ligadas ao cotidiano.
Em meio às várias aplicações do triângulo podemos citar a sua utilização em estruturas de sustentação. Observe a presença de triângulos na estrutura dos objetos a seguir:

Figura I                                          Figura II


As imagens demonstradas utilizam o formato triangular na sua composição. A figura I representa uma coluna de sustentação, e a figura II a armação do telhado de um galpão. Em virtude de sua importância mostraremos o cálculo de sua área.

Para calcularmos a área do triângulo utilizaremos o cálculo da área do quadrado. Sabemos que, para calcular a área do quadrado temos que multiplicar a largura pelo comprimento.

Área do quadrado: 4 m x 4 m = 16 m²


Se nesse quadrado traçarmos uma reta unindo dois vértices, construiremos dois triângulos. Veja:


O quadrado de área igual a 16 m² fora repartido em dois triângulos iguais, os quais podemos dizer que possuem área igual a 8 m² cada um. Dessa forma, temos que a área do triângulo é a metade da área de um quadrado. Veja como seria o cálculo da área do triângulo, independente da existência do quadrado:



Observe os seguintes exemplos:

Cálculo do desconto numa compra à vista:

 

Juros e porcentagem

Hoje é possível comprar uma televisão, um videogame, uma geladeira, automóveis e imóveis parcelados, ou seja, em prestações. Muitas pessoas optam pela compra parcelada achando que estão fazendo um bom negócio, mas desconhecem o “perigo” por trás dessas operações financeiras. Acontece que ao realizar uma compra parcelada, o valor pago no final pode ser muito maior que o preço original do produto, em razão dos juros contidos nessas operações. Os juros existem porque a grande maioria das pessoas prefere o consumo imediato de um bem e está disposta a pagar um preço maior por isso.

Muitos desconhecem que na opção pela compra à vista, ou seja, pagando o valor total de uma vez, existem descontos. O desconto, de uma maneira simples, é uma bonificação ou gratificação para a pessoa que opta por fazer uma compra à vista, uma vez que quem vende o produto não correrá riscos de não ter as parcelas pagas e, em contrapartida, oferece essa vantagem ao cliente.

Vamos compreender como é calculado o valor do desconto em compras feitas à vista.

Exemplo 1. Na compra à vista de um videogame, o vendedor oferece 15% de desconto. Se o valor desse videogame é de R$ 900,00, quanto uma pessoa pagará caso opte por fazer a compra à vista?

Solução: Primeiro, vamos calcular o valor do desconto.
Cálculo do desconto.
15% do valor do videogame.

Sabemos que a pessoa que fizer a compra à vista terá um desconto no valor de R$135,00.

Para determinar o valor a ser pago, basta fazer o valor original do produto menos o valor do desconto:

Valor pago: 900 – 135 = 765

Portanto, caso a pessoa opte por fazer a compra à vista, pagará R$ 765,00 pelo videogame.

Exemplo 2. O pai de Felipe decidiu comprar uma TV de LCD no valor de R$ 2500,00. Havia a opção de adquirir a TV em 12 prestações ou à vista com um desconto de 10%. Felipe, que havia acompanhado muito bem as aulas de matemática, disse ao pai que a compra à vista seria mais vantajosa, pois a TV ficaria mais barata. Qual será o valor pago pela TV, caso o pai de Felipe decida realizar a compra à vista?

Solução: Vamos fazer o cálculo do valor do desconto.
Cálculo do desconto.

O valor do desconto será de R$250,00.

Cálculo do valor da TV na compra à vista.

Valor = 2500 – 250 = 2250

Portanto, se o pai de Felipe resolver fazer a compra à vista ele terá uma economia de 250 reais e irá pagar pela TV R$ 2250,00.

Usando a calculadora, o cálculo do desconto torna-se mais simples ainda. Veja:

Digite o valor do produto, em seguida a tecla que representa a operação da subtração, depois a porcentagem do desconto acompanhada da tecla %. Por exemplo, o cálculo do valor pago pela TV do pai de Felipe pode ser feito da seguinte forma:

2500 – 10% = 2250.