Matematica:

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

   

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se:

u.v = 0

Limites

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02

x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98

   Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x 1), y tende para 3 (y  3), ou seja:

    Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
    Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x  1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)  3), dizemos que o limite de f(x) quando x  1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
    De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x  a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).

                        

                        Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

                        

   Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

                          

   Se g: IR  IR e g(x) = x + 2,  g(x) =  (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.