Inequações do segundo grau

Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se, claro, as propriedades das desigualdades e o significado da solução.

Assim, resolvendo, temos:





É possível, para resolver inequações do segundo grau, proceder como em equações do segundo grau?

Vejamos o exemplo .

A resolução de equações do segundo grau se dá, entre outras formas, pelafórmula de Bhaskara:



E agora? Qual seria o significado dos valores encontrados para o conjunto solução? Se a inequação é , deveríamos escrever a solução como  ou ? Que significado isso teria?

Na verdade, resolver a inequação  é saber para quais valores de x a expressão  é positiva. 

Graficamente, essa expressão, em função de x, é uma parábola, uma função do segundo grau. Se estudarmos o sinal da função do segundo grau, descobriremos para quais valores de x essa expressão é positiva.

Seu gráfico é:



Estudando o sinal da função, temos:



Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são  ou . E o conjunto solução da inequação é .

Exemplos:

1) 

Achando as raízes da função, temos 



E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0): 



A solução é .

2) 

As raízes da função são 



A função é côncava para baixo, pois a < 0. E o estudo do sinal fica assim:



A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula.

Como, no exemplo, queremos saber onde a função é positiva ou nula , o único ponto que faz parte da solução é x = 2. 

A solução é .

3) 

A função não possui raízes reais. Logo, ela não intercepta o eixo das abscissas. A concavidade é para baixo, pois a < 0.



Como queremos saber onde a função é positiva, o conjunto solução da função é vazio. Logo, S = Ø.