Proporção áurea Número "escondido" na natureza

É costume que se chame o número  = 1,618... =  de número de ouroou razão áurea, por representar o proporção áurea, ou a divina proporção

Considere um retângulo de dimensão a e b, sendo a > b e tais que,subtraindo-se um quadrado do seu comprimento, reste um retângulo semelhante ao primeiro, conforme se vê abaixo:




Este é o chamado retângulo áureo, figura de grande apelo estético e forma das mais utilizadas na arquitetura clássica e moderna (o Partenon, em Atenas, por exemplo, tem as dimensões frontais do retângulo áureo).

Da semelhança entre os dois retângulos, decorre a equação: .

Exprimindo b em função de a, chegamos a: .

O segmento b é denominado segmento áureo de a. Em outras palavras: se um segmento tem comprimento a, o seu áureo tem comprimento .

Observando a base do retângulo maior:




Dizer que b = AD é o segmento áureo de a = AB equivale a dizer que C é um ponto do segmento AB tal que .

Também é comum dizer que o ponto D divide o segmento AB em média e extrema razão.




Se a = 1, b = 

Se b = 1, a = 

Compare os dois últimos resultados: 1/ + 1 = .

Propriedades da proporção áurea

Esse número tem várias outras propriedades interessantíssimas:

a) Somar duas potências inteiras consecutivas de  resulta na próxima potência de :




b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo:




c) Por fim, a soma de todas as potências inteiras negativas de  produz o próprio :




d) Para gerar  em uma calculadora simples, siga os passos:

insira 1

inverta o resultado , e some 1

inverta o resultado, e some 1

Continue o processo e o resultado convergirá para !




Essa é para você pensar: qual é a seqüência de passos dessa expressão que, surpreendentemente, também converge para ?

A divina proporção na arte e nas ciências

Na natureza, a razão áurea parece orientar a posição das pétalas e sementes nas margaridas e girassóis, e a curvatura da concha do Náutilus. A divina proporção também foi encontrada na seqüência de Fibonacci.

Nas artes, retângulos áureos serviram de moldura para inúmeras obras, para artistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dührer. Para além da harmonia, a razão áurea era um ideal de perfeição.

Segundo o modelo do homem perfeito, impresso no Homem Vitruviano, de Da Vinci, as dimensões obedecem a divina proporção; o umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão na razão áurea.

O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos (braços abertos
perpendicularmente ao corpo) em dois segmentos que estão na mesma razão áurea.

O Homem Vitruviano, de Da Vinci