Soma e produto de raízes de uma equação (Relações de Girard)

Você sabia que a partir das "raízes" (resultados) das equações de segundo grau é possível "montar" a equação? Se você tiver apenas as raízes (x₁ e x₂), você consegue encontrar qual equação poderia ter esses resultados, graças às relações que as raízes guardam com os coeficientes da equação de 2º grau. 

Soma das raízes

A primeira relação importante de se destacar é esta:




Em que x₁ e x₂ são as duas raízes da equação, b e a são os coeficientes dela, segundo a fórmula de Bhaskara:

Veja sua comprovação. Comece relembrando a fórmula de Bhaskara:




Logo as raízes são:




e




Para simplificar daqui para diante vamos adotar a seguinte notação:




Logo:




Veja as raízes somadas:




Como denominador é o mesmo fica:

Produto das raízes

Veja como essa relação se comprova:




Lembra-se dos produtos notáveis?

A multiplicação de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, então:




Como




então




Simplificando o 4 e o a:

Essas relações foram definidas pelo matemático Albert Girard (1590-1639).

Recuperando uma equação a partir das raízes

Dadas uma equação de segundo grau de raízes 4 e 9, qual seria uma equação possível? Relembre que a fórmula geral de uma equação de segundo grau é ax² + bx + c = 0.

De:




com 




e




Logo, tem-se a equação: