EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM

FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0                          (a0, a1 constantes)

Ex: y = 

Então y' =    e      y'' = 

Substituindo na equação dada:    ou   () = 0

 0 para todo x, logo devemos ter  = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.

    A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2.

•  1, 2 números reais e distintos  C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1 + C2
• 1 = 2 =  (números reais e iguais)  a solução geral da EDO é y = C1 + C2x
• 1 = a + bi, 2  = a - bi (complexos conjugados: a, b reais)  a solução geral é y = C1 + C2

Ex:    y'' - 2y' - 15y = 0

Equação característica: - 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3

Solução geral: y = 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

f_n(x)y⁽ⁿ⁾ + f_n-1(x) y^(n-1) +...+ f₂(x) y^'' + f₁(x)y' + f₀(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes f_i (x) são funções de x.

CLASSIFICAÇÕES:

Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).

Equação linear: de coeficientes constantes ( f₀, f₁, f₂, ..., f_n constantes)

                            de coeficientes variáveis (pelo menos um f_i  variável)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

    P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0

P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y

   e  

logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .

Ex: 

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema: 

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: 

  - 3x²y = x²   ou      =  x²dx =   + C

A multiplicação por  dá a solução: