Integrais

                

  

                

 
A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para  , a área limitada por f(x) e o eixo x, é dada por ,que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura  e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:

                                                                  

   Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x₀=a, x₁, x₂,...,x_n=b, obtemos os intervalos (a, x₁), (x₁, x₂), ...., (x_n-1, b). Em cada intervalo  (x_i-1, x_i) tomemos um ponto arbitrário h_i.  

Seja   De acordo com a figura, os retângulos formados têm área 

                  Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:

que nos fornece um valor aproximado da área considerada.

Aumentando o número n de subintervalos , tal que  tenda a zero  e o número n de subintervalos tenda a infinito , temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.

   Simbolicamente, escrevemos:

Exemplo:

                 Seja a área entre y = x e o eixo x, para :

                            Esta área é dada por:

           Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura .

           Sejam, então, os pontos .

           Como f(x) = x, então .