Produto escalar, Propriedades do produto escalar, Ângulos entre dois vetores, Vetores ortogonais.

Produto escalar Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos:  O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19    Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:     v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v| |u.v| <= |u| |v|    (desigualdade de Schwarz) |u+v| <= |u| + |v|   (desigualdade triangular)Obs: <= significa menor ou igual Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x) onde x é o ângulo formado entre u e v. Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como: desde que nenhum deles seja nulo.    Vetores ortogonais Dois vetores u e v são ortogonais se: u.v = 0