Equações de 1º grau (com duas variáveis):
       Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

   Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

                     

    Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

•    Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos

    2.   Dois pares ordenados (x,  y) e (r, s) são iguais somente se    x = r   e    y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado

    Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

    Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

        Coordenadas Cartesianas

    Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

 A (3, 5) ==>  3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

    Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

      

        Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.         Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.        A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixox).        A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).        O ponto comum dessas duas retas é denominado    origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

  

        Localização de um Ponto

            Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
• Localize o ponto (4, 3).

    Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

    Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

    Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

               

    Logo:

            Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde  

Equações de primeiro grau

(com duas variáveis)

 Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y

   Trata-se  de  uma equação com duas variáveis,  x  e y,  pode ser  transformada  numa  equação  equivalente  mais simples. Assim:

            2x + 3y = 5 + 6

            2x + 3y = 11   ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

    Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y  - variáveis ou incógnitaa  -  coeficiente de x

b  -  coeficiente de yc  -  termo independente

    Exemplos:

x + y = 302x + 3y = 15 x - 4y = 10

-3x - 7y = -482x- 3y = 0 x - y = 8

   Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

   Quais o valores de x e y que tornam a sentença  x - 2y = 4 verdadeira?

    Observe os pares abaixo:

    x = 6,  y = 1

x - 2y = 4 6 - 2 . 1 = 4 6 - 2 = 4 4 = 4  (V)

     x = 8,  y = 2

x - 2y = 4 8 - 2 . 2 = 4 8 - 4 = 4 4 = 4  (V)

    x = -2,  y = -3

x - 2y = 4 -2 - 2 . (-3) = 4 -2 + 6 = 4 4 = 4  (V)

   

     Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

    Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

    Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo .

    Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

• Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

            Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:

3x - y = 8                 3 . (1) - y = 8                       3 - y = 8                -y = 5   ==> Multiplicamos por -1 y = -5

  

    O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

                V = {(1, -5)}

    Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e bnão-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

 Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

    Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

    Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

• Construir um gráfico da equação x + y  = 4.

            Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam  essa equação.

                    1º par: A (4, 0)

                    2º par: B (0, 4)

    A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y 4 0 0 4

        Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta  r, que contém todos os pontos soluções da equação.

    A reta  r é chamada  reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações

    Considere o seguinte problema:

   Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

   Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

                x + y = 25         (total de arremessos certo)

                2x + 3y = 55     (total de pontos obtidos)

    Essas equações contém um sistema de equações.

    Costuma-se indicar o sistema usando chave.

                            

    O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema.Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

Resolução de Sistemas

    A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

    Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

    Solução

• determinamos o valor de x na 1ª equação.

                        x = 4 - y

• Substituímos esse valor na 2ª equação.

                        2 . (4 - y) -3y = 3 

• Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3      8 - 2y -3y = 3                                  -5y = -5   => Multiplicamos por -1 5y = 5        y = 1

• Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x  + 1 =  4 x =  4 - 1 x = 3

• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

                                V = {(3, 1)}

Método da adição

   Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

   Resolva o sistema abaixo:

   Solução

• Adicionamos membros a membros as equações:

                        

                           2x = 16

                            

                            x = 8

• Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

                            8 + y = 10

                            y = 10 - 8

                            y = 2

        A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

                            V = {(8, 2)}