Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios: As expressões algébricas fracionárias são aquelas em que o denominador possui letras, isto é, termos variáveis. Veja os exemplos: No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicar o cálculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações com denominadores iguais. Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos de fatoração é de extrema importância para a determinação de algumas situações envolvendo mmc. Observe o cálculo do mmc entre polinômios nos exemplos a seguir: Exemplo 1 mmc entre 10x e 5x² – 15x 10x = 2 * 5 * x 5x² – 15x = 5x * (x – 3) mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x Exemplo 2 mmc entre 6x e 2x³ + 10x² 6x = 2 * 3 * x 2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5) mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) = 6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x² Exemplo 3 mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y² x² – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y) * (x – 3) x² – y² = (x + y) * (x – y) mmc = (x – 3) * (x + y) * (x – y) Exemplo 4 mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4. x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4). x² + 4x + 4 = (x + 2)² mmc = (x + 2)² * (x² – 2x + 4) Multiplicidade de uma raiz: Na resolução da equação do 2º grau x2 – 6x + 9 = 0, encontramos duas raízes iguais a 3. Utilizando o teorema da decomposição, fatoramos o polinômio e obtemos: x2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2 Nesse caso, dizemos que 3 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação. Dessa forma, se um polinômio fatorado resulta a seguinte expressão: Podemos dizer que: x = -5 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0 x = -4 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0 x = 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0 De maneira geral, dizemos que r é uma raiz de multiplicidade n, com n ≥ 1, da equação p(x) = 0, se: Observe que p(x) é divisível por (x – r)m e que a condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x) e garante que a multiplicidade da raiz r não é maior que m. Exemplo 1. Resolva a equação x4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla. Solução: considere p(x) como sendo o polinômio dado. Assim: Note que q(x) é obtido fazendo a divisão de p(x) por (x – 3)2. Fazendo a divisão pelo dispositivo prático de Briot –Ruffini, obtemos: Após a realização da divisão, vemos que os coeficientes do polinômio q(x) são 1, -3 e -4. Assim, q(x) = 0 será: x2 – 3x – 4 = 0 Vamos resolver a equação acima para determinarmos as demais raízes. x2 – 3x – 4 = 0 Δ = (-3)2 - 4*1*(-4) Δ = 25 x = -1 ou x = 4 Portanto, S = {-1, 3, 4} Exemplo 2. Escreva uma equação algébrica de grau mínimo tal que 2 seja raiz dupla e – 1, raiz simples. Solução: Temos que: (x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0 Ou Adição e Subtração de Polinômios: O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir: Adição Exemplo 1 Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. +(–3x2) = –3x2 +(+8x) = +8x +(–6) = –6 x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 –2x2 + 5x – 7 Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 Exemplo 2 Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 4x2 – 4x + 7 Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 Subtração Exemplo 3 Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. – (–3x2) = +3x2 – (+10x) = –10x – (–6) = +6 5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 8x2 – 19x – 2 Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 Exemplo 4 Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 0x³ – 6x² + x + 16 – 6x² + x + 16 Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16 Exemplo 5 Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule: a) A + B + C (6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 9x³ + 6x² – 8x + 45 A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 b) A – B – C (6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 3x³ + 4x² – 8x – 15 A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios: Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios. Adição e Subtração Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles. Adição (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal –2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes –2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência –3x³ – 2x² + 7x – 3 Subtração (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal –2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes –2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência 3x³ – 2x² + 3x – 1 Multiplicação de polinômio por monômio Para entendermos melhor, observe o exemplo: (3x2) * (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 15x5 + 24x4 – 3x3 Multiplicação de polinômio por polinômio Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo: (x – 1) * (x2 + 2x - 6) x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1) (x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6) x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes. x³ + x² – 8x + 6 Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Divisão de polinômio por polinômio: Em toda divisão temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos: Para o dividendo um polinômio G(x) Para o divisor um polinômio D(x) Para o quociente um polinômio Q(x) Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x) Prova real: Tem algumas observações a serem feitas, como: ? ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x). ? quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0. Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado. Dada a divisão (12x3 + 9 – 4x) : (x + 2x2 + 3) Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações: ? se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x. No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim: (12x3 - 4x + 9) : (2x2 + x + 3) ? observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar. No polinômio 12x3 - 4x + 9 está faltando o termo x2, completando ficará assim: 12x3 + 0x2 - 4x + 9 Agora podemos iniciar a divisão: ? G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x): 12x3 : 2x2 = 6x, o resultado multiplicará o polinômio 2x2 + x + 3 e o resultado dessa multiplicação subtrairemos pelo polinômio 12x3 + 0x2 - 4x + 9. Assim teremos: ? R(x) > D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x). R(x) < D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que: O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.