A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula
é válida para todos os valores inteiros de n e para n = 
. Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então
. Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então
sempre que 
e 
estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que é diferenciável.
e estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que é diferenciável.
Seja y = . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = 
pode ser escrito como
. Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como
Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos
, obtemos 
Desta forma, pode ser escrito como
Exemplo
A partir de
Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de
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