Agora obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa.
- DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado diferenciando 
, onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite
, onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite 
Usando a definição de derivada, obtemos(com x em vez de v como variável).
Assim,
Mas a partir da fórmula , temos 
= 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como
= 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como |
No caso especial onde b = e, temos = 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se
= 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se |
Assim, entre todas as possíveis bases, a base b = e produz a fórmula mais simples da derivada para . Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre todos os logaritmos no cálculo.
. Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre todos os logaritmos no cálculo.
Exemplo 1
Ache 
Solução. A partir de 
Quando possível as propriedades dos logaritmos devem ser usadas para converter produtos, quocientes e expoentes em somas, em diferenças e em múltiplos de constantes, antes de diferenciar uma função envolvendo logaritmos.
Exemplo 2
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