Integração de Potências de Seno e Co-seno

Na seção fórmulas de redução,obtivemos as fórmulas

No caso onde n=2,estas fórmulas ficam

   

Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas.   

  

que provêm das fórmulas para o ângulo duplo

Essas identidades dão lugar a

Integração de produtos de senos e co-senos

Se m e n são inteiros positivos,então a integral

pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou ímpares

Exemplo

Calcule

Solução.

Integração de Potências de Tangente e de Secante

O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno.A idéia é usar as seguintes fórmulas de redução para reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada:

                                              (1)                                                                                      (2)

No caso onde n for ímpar,o expoente pode ser reduzido a um,nos deixando com o problema de integrar tgx ou sec x.Estas integrais são dadas por

A fórmula pode ser obtida escrevendo-se

A fórmula  requer um truque.Escrevemos

As seguintes integrais ocorrem freqüentemente,e vale a pena destacar:

A fórmula(2)já foi vista,uma vez que a derivada de tgx é  .A fórmula(1) pode ser obtida aplicando-sea fórmula de redução,com n=2,ou alternativamente,usando-se a identidade

 

para escrever