Victor Vidal Gonçalves: Matemática: Teoria dos anéis

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sexta-feira, 1 de agosto de 2014

Matemática: Teoria dos anéis

Dado um conjunto S e duas operações binárias, dizemos que a estrutura algébrica

(S,+,\cdot )

forma um anel se:

A operação de adição ( $+$ ) é comutativa
A operação de adição é associativa
Existe um elemento neutro na adição, chamado de 0
Existe um elemento inverso para a adição, escrito como $-x$
A operação de multiplicação ( $\cdot$ ) é associativa
A operação de multiplicação se distribui sobre a adição: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c \in S$ (distributividade)

Um anel que também possua um elemento neutro com relação à multiplicação é chamado de anel com unidade. Alguns autores incluem este axioma na definição de anel.

Um anel é chamado anel sem divisores de zero se:

\forall a,b \in S \quad a \cdot b = 0 \rightarrow a=0\ ou\ b=0

Note que a estrutura

(S,+)

que satisfaz às condições de 1 a 4 forma um grupo abeliano

Exemplos

No entanto, a definição é válida para qualquer conjunto, portanto o conjunto de matrizes reais 2x2, juntamente com as operações de adição e multiplicação de matrizes usuais, fornece um exemplo de anel com divisor de zero

unidade