Matematica:

Limites

Limites trigonométricos

    Demonstração:

    Para ,  temos  sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

    

    Invertendo, temos:

    

    Mas:

             §    

             §   g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, 

    

Limites

Limites exponenciais

    Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracionale cujo valor aproximado é  2,7182818.
    Veja a tabela com valores de x e de . 

x	1	2	3	10	100	1 000	10 000	100 000
	2	2,25	2,3703	2,5937	2,7048	2,7169	2,7181	2,7182

    Notamos que à medida que .
    De forma análoga, efetuando a substituição , temos:

    Ainda de forma mais geral, temos :

    As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. 

    Se ,então  .
    Mas:

    

    Logo: 

   

    Como x 0 , então u  0. Portanto:

   

   Generalizando a propriedade acima, temos .